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 複雑な未来を読む羅針盤！ベクトル自己回帰モデル(VAR)を徹底解説【G検定対策】

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「GDPとインフレ率、失業率…これらの経済指標って、お互いに関係しあいながら動いている気がするけど、どうやって分析・予測すればいいんだろう？」 「G検定の勉強でVARモデルって出てきたけど、いまいち掴みどころがない…」

そんな悩みを持つG検定受験者のあなたへ。この記事では、複数の時系列データ間の複雑な関係性を捉え、未来を予測するための強力な武器となるベクトル自己回帰モデル（Vector Autoregressive Model、VARモデル）について、基礎から応用、そしてG検定対策のポイントまで、わかりやすく徹底解説します。

この記事を読めば、VARモデルの基本的な考え方から、経済分析などでの具体的な活用イメージ、そしてG検定で問われやすいポイントまで、しっかりと理解できるはずです。さあ、一緒にVARモデルの世界を探求し、データ分析のスキルアップとG検定合格を目指しましょう！

目次

 VARモデルって何？ARモデルとの違いから理解しよう

VARモデルを理解する前に、まずはその基礎となるARモデルについて簡単におさらいしておきましょう。

 そもそも自己回帰(AR)モデルとは？

自己回帰モデル（Autoregressive Model、ARモデル）は、単一の時系列データについて、その過去の値だけを使って未来の値を予測するモデルです。例えば、「今日の株価」を「昨日の株価」や「一昨日の株価」といった過去の株価データだけから予測しよう、というのがARモデルの考え方です。シンプルで扱いやすいのが特徴です。

 VARモデルの基本的な考え方：変数は一人じゃない！

ARモデルが「一人の選手（単一変数）の過去の成績だけを見て次の試合を予想する」ようなものだとすれば、ベクトル自己回帰モデル（VARモデル）は、「チーム（複数変数）全体の過去の成績や、選手間の連携（相互作用）も考慮して次の試合を予想する」ようなものです。

つまり、VARモデルは複数の時系列データを同時に扱い、ある変数の未来の値を予測する際に、自身の過去の値だけでなく、他の関連する変数の過去の値も考慮に入れるモデルなのです。

例えば、「GDP成長率」を予測したい場合、過去のGDP成長率だけでなく、「過去のインフレ率」や「過去の失業率」といった他の経済指標の動きも考慮して予測します。

VARモデルの主な特徴

  • 複数の時系列変数間の相互作用を捉えられる: これがVARモデル最大の強みです。
  • すべての変数が内生変数として扱われる: モデル内で全ての変数が互いに影響を与え合う対等な関係として扱われます。特定の変数が「原因」、他が「結果」というような強い仮定を置かずに分析できます。
  • 経済学や金融工学で広く利用: GDP、インフレ率、金利、株価など、相互に関連しあう複数の指標を分析・予測するのに適しています。

 G検定における位置づけ：教師あり学習の仲間

G検定のシラバスでは、VARモデルは「機械学習の具体的手法」の中の「教師あり学習」に分類されています。なぜでしょうか？

教師あり学習とは、入力データ（説明変数や特徴量）と、それに対応する正解データ（目的変数やラベル）のペアを使って、入力から出力を予測するルール（モデル）を学習する方法です。

VARモデルの場合、

  • 入力データ: 各変数の過去の値（y_t−1, y_t−2, …）
  • 正解データ: 現在の各変数の値（y_t）

と考えて、「過去のデータを使って現在の（あるいは未来の）データを予測する」という関係性を学習します。これはまさに回帰問題における教師あり学習の考え方そのものです。G検定では、VARモデルが時系列データを扱う教師あり学習の一種である、という点を理解しておきましょう。

 VARモデルを数式で見てみよう

概念を理解したところで、もう少し具体的にVARモデルを数式で表現してみましょう。G検定では数式自体を詳細に問われることは少ないかもしれませんが、式の形からモデルの構造をイメージできると理解が深まります。

 一般的な形：たくさんの変数と過去

K個の変数があり、p期前までの過去のデータを使うVARモデル（VAR(p)モデルと呼ばれます）は、一般的に以下のように行列とベクトルを使って表現されます。

yt​=c+A1​yt−1​+A2​yt−2​+⋯+Ap​yt−p​+εt​

ここで、

  • y_t: 時点 t における K個の変数値をまとめたベクトル (K次元ベクトル)
    • 例：y_t=beginpmatrixGDP成長率_tインフレ率_tendpmatrix (K=2の場合)
  • c: 定数項ベクトル (K次元ベクトル)
  • A_i: ラグ i （i期前）の係数行列 (K x K 行列)。変数間の影響の強さを示します。
  • y_t−i: 時点 t−i における K個の変数値をまとめたベクトル
  • varepsilon_t: 時点 t における誤差項ベクトル (K次元ベクトル)。モデルでは説明しきれないランダムな変動を表します。

この式は、「現在の各変数の値(y_t)は、定数(c)と、1期前からp期前までの全ての変数の値(y_t−1 から y_t−p)にそれぞれの係数(A_i)を掛けて足し合わせたもの、そして予測できない誤差(varepsilon_t)から決まる」ということを示しています。

 シンプルな例：2つの変数と1期前の過去（VAR(1)モデル）

もっと具体的に、2つの変数（y_1 と y_2）で、1期前の過去だけを使うVAR(1)モデルを見てみましょう。上記のベクトル・行列形式を書き下すと、以下の2つの式になります。

y1,t​=c1​+ϕ11,1​y1,t−1​+ϕ12,1​y2,t−1​+ε1,t​ y2,t​=c2​+ϕ21,1​y1,t−1​+ϕ22,1​y2,t−1​+ε2,t​

ここで、

  • y_1,t: 時点tにおける変数1の値
  • y_2,t: 時点tにおける変数2の値
  • c_1,c_2: それぞれの式の定数項
  • phi_11,1: 変数1の1期前の値が、現在の変数1の値に与える影響の強さ
  • phi_12,1: 変数2の1期前の値が、現在の変数1の値に与える影響の強さ
  • phi_21,1: 変数1の1期前の値が、現在の変数2の値に与える影響の強さ
  • phi_22,1: 変数2の1期前の値が、現在の変数2の値に与える影響の強さ
  • varepsilon_1,t,varepsilon_2,t: それぞれの式の誤差項

この式を見ると、現在の y_1 の値は、過去の y_1 だけでなく過去の y_2 からも影響を受けていること、そして y_2 も同様であることがよくわかりますね。

 大事な脇役：誤差項のルール

VARモデルを正しく使うためには、誤差項 varepsilon_t にいくつかの仮定（ルール）が置かれます。

  1. 期待値はゼロ: E(varepsilon_t)=0
    • 平均的には、誤差はプラスにもマイナスにもならずゼロである。
  2. 同時点の分散共分散は一定: E(varepsilon_tvarepsilon_t′)=Omega
    • 同じ時点 t における異なる変数間の誤差（例：varepsilon_1,t と varepsilon_2,t）には相関があるかもしれないが、その関係性は時間を通じて一定である。Omega は分散共分散行列と呼ばれます。
  3. 異なる時点間の誤差は無相関: E(varepsilon_tvarepsilon_t−k′)=0quad(kneq0)
    • ある時点の誤差は、それより過去の誤差とは関係がない。

これらの仮定は、モデルの推定や解釈において重要になります。

 どうやってモデルを作るの？VARモデルの推定ステップ

さて、VARモデルの概念と数式がわかったところで、実際にデータからモデルを作る（推定する）際の基本的な流れを見ていきましょう。

 Step1: データは準備OK？「定常性」の確認

時系列モデルを扱う上で非常に重要なのが定常性 (Stationarity) の確認です。定常な時系列とは、簡単に言うと、時間の経過によらず平均や分散、自己共分散といった統計的な性質が変化しないデータのことです。

なぜ確認が必要かというと、非定常なデータにそのままVARモデルを適用すると、「見せかけの回帰」と呼ばれる、本当は関係ないのに関係があるように見えてしまう問題が起きる可能性があるからです。

  • 確認方法: ADF検定（Augmented Dickey-Fuller test）などの単位根検定と呼ばれる統計的検定を用いるのが一般的です。（G検定では検定の詳細までは問われないことが多いですが、定常性の確認が必要であることは覚えておきましょう。）
  • 非定常だった場合: 多くの経済データのように非定常な場合は、データの差分（今期の値と前期の値の差）を取るなどの処理を行い、データを定常化してからVARモデルを適用することが多いです（これを「差分VARモデル」と呼びます）。

 Step2: 最適な「過去」はどれくらい？ラグ次数pの決定

次に決めるのは、「何期前までの過去データをモデルに含めるか」というラグ次数 p です。ラグ次数が小さすぎると変数間の関係性を取りこぼす可能性があり、逆に大きすぎるとモデルが複雑になりすぎて推定精度が悪くなる（過学習）リスクがあります。

  • 選択方法: 情報量規準と呼ばれる指標、特にAIC (赤池情報量規準) や BIC (ベイズ情報量規準) を計算し、これらの値が最も小さくなるようなラグ次数 p を選択するのが一般的です。モデルの当てはまりの良さとパラメータ数のバランスを取るための指標と理解しておきましょう。

 Step3: パラメータを求める！最小二乗法(OLS)の適用

適切なラグ次数 p が決まったら、いよいよモデルのパラメータ（定数項 c と係数行列 A_1,dots,A_p）を推定します。

VARモデルの便利な点のひとつは、各変数ごとの方程式（先の2変数例で見た y_1,t=dots の式と y_2,t=dots の式）を、それぞれ独立に最小二乗法 (Ordinary Least Squares, OLS) で推定できることです。OLSは、予測値と実際の値の差（誤差）の二乗和が最小になるようにパラメータを決定する、基本的な推定方法です。これにより、比較的簡単にパラメータを求めることができます。

(補足) Pythonでの実装イメージ

参考までに、Pythonのstatsmodelsライブラリを使うと、以下のようなコードでVARモデルの推定が行えます。（G検定でコード記述が問われることは稀ですが、イメージを持つ助けになります。）

Python

import numpy as np

import pandas as pd

import statsmodels.api as sm

from statsmodels.tsa.api import VAR

# データの準備 (例: GDP成長率とインフレ率のデータフレーム)

# data = pd.DataFrame({‘GDP’: […], ‘Inflation’: […]})

# ダミーデータの作成 (実際には実際のデータを使う)

np.random.seed(0)

data = pd.DataFrame(np.random.rand(100, 2), columns=[‘Var1’, ‘Var2’])

# VARモデルのインスタンスを作成

# (データが非定常なら差分を取る: data.diff().dropna())

model = VAR(data)

# 適切なラグ次数を情報量規準(例: AIC)で選択 (ここでは仮に4とする)

# results = model.fit(maxlags=10, ic=’aic’) # 自動選択の場合

results = model.fit(4) # ラグ次数を4に指定

# 推定結果の表示

print(results.summary())

# 予測 (最後のラグ次数分のデータと、予測したい期間数を指定)

lag_order = results.k_ar

forecast_steps = 5

forecast = results.forecast(data.values[-lag_order:], steps=forecast_steps)

print(f”\n{forecast_steps}期先の予測:\n{forecast}”)

VARモデルで何ができる？G検定頻出の応用分析

VARモデルを推定するだけでは終わりません。推定されたモデルを使って、変数間の関係性をより深く探ったり、将来を予測したりする分析が可能です。ここではG検定でも重要となる代表的な応用分析手法を３つ紹介します。

 未来を読み解く：予測 (Forecasting)

VARモデルの最も直接的な利用法は、モデルに含まれる複数の変数の将来値を予測することです。推定されたパラメータを使って、1期先、2期先…と順次計算していくことで、将来の動向を予測できます。複数の変数の相互作用を考慮しているため、単変量のARモデルよりも精度の高い予測が期待できる場合があります。

 影響の連鎖を見る：インパルス応答分析 (Impulse Response Function, IRF)

これはVARモデルの応用として非常にポピュラーな分析です。「もし、ある変数に予期せぬ一時的な変化（ショックやインパルス）が1単位だけ加わったら、それが他の変数や自分自身に、将来にわたってどのような影響（応答）を及ぼしていくか？」を時系列的に追跡する分析手法です。

例えば、「中央銀行が政策金利を突然1%引き上げた（ショック）場合、GDP成長率やインフレ率は、その後数四半期にわたってどのように変化していくか？」といった分析が可能になります。経済政策の効果測定などでよく用いられます。

 影響力の大きさ比べ：予測誤差分散分解 (Forecast Error Variance Decomposition, FEVD)

将来の予測には必ず間違いが伴います。予測誤差分散分解は、「ある変数の将来の予測誤差（予測の不確実性）の分散のうち、何パーセントが、どの変数からもたらされたショック（予期せぬ変動）によって説明されるか？」を分析する手法です。

これにより、モデル内の各変数が、他の変数の将来の変動に対してどれくらいの影響力を持っているかを相対的に評価することができます。

例えば、「10期先のGDP成長率の予測誤差の分散のうち、60%は過去のGDP自身のショックによるもの、30%は過去のインフレ率のショックによるもの、10%は過去の失業率のショックによるもの」といった分析結果が得られます。

 原因を探る？グレンジャー因果性検定 (Granger Causality Test)

「変数Xの過去の値を知ることが、変数Yの現在の値を予測する上で統計的に有意に役立つか？」を検定する手法です。もし役立つ場合、「XからYへのグレンジャー因果性がある」と言います。

例えば、「過去のインフレ率のデータを使うと、現在のGDP成長率の予測精度が（使わない場合と比べて）統計的に向上するか？」を検定します。

重要注意点: グレンジャー因果性は、あくまで「予測に役立つか」という統計的な関係性を示すものであり、一般的な意味での「原因と結果の関係（因果関係）」を直接証明するものではありません。この点はG検定でも問われる可能性があるので注意しましょう。

 【応用例】経済指標で見てみよう！

実際にVARモデルがどのように使われるか、経済分析の例でイメージしてみましょう。 例えば、国のマクロ経済分析担当者が、GDP成長率、インフレ率、失業率という3つの主要経済指標の四半期データを使ってVAR(2)モデル（2期前までのラグを含む）を推定したとします。

  • 予測: モデルを使って、来年（4四半期先）までの各指標の値を予測し、経済見通しを作成する。
  • インパルス応答分析: 「もし原油価格の高騰により、今期インフレ率に1%の正のショックが発生したら、GDP成長率と失業率は今後2年間にわたってどのように推移するか？」をシミュレーションし、経済への影響を評価する。
  • 予測誤差分散分解: 「2年先の失業率の変動（予測誤差）は、主に自身の過去の変動によるものか、それともGDP成長率やインフレ率の変動によるものか？」その寄与度を計算し、失業率変動の要因を分析する。
  • グレンジャー因果性検定: 「過去のGDP成長率の変動は、将来の失業率を予測するのに役立つか？」を検定し、両指標間の先行・遅行関係を調べる。

このように、VARモデルとそれを用いた応用分析は、複雑に絡み合う経済現象を理解し、政策決定に役立つ洞察を得るための強力なツールとなります。

 VARモデルの強みと弱みを知っておこう

どんな分析手法にもメリットとデメリットがあります。VARモデルを効果的に使うために、その強みと弱みを理解しておきましょう。

 VARモデルのここが凄い！（メリット）

  • 変数間の相互作用・フィードバックを捉えられる: 複数の時系列が互いに影響し合う動的な関係性をモデル化できます。
  • 理論的な制約が少ない（データ駆動型）: 経済理論などに基づいた変数間の関係性（構造）を事前に強く仮定する必要がなく、データが示す関係性を柔軟に捉えることができます。
  • 予測精度の向上可能性: 単変量モデル（ARモデルなど）よりも多くの情報を利用するため、予測精度が向上する可能性があります。
  • 推定が比較的容易: 各方程式をOLSで推定できるため、計算負荷が比較的小さいです。

 ここは注意が必要（デメリット）

  • パラメータ数が多い: モデルに含まれる変数の数（K）やラグ次数（p）が増えると、推定すべきパラメータ数が Ktimes(1+pK) と急激に増加します。十分なデータ量がないと、パラメータを安定的に推定できなかったり、過学習（Overfitting）を起こしやすくなったりします。（G検定でも注意点として問われる可能性があります。）
  • 非定常データへの対応: 前述の通り、非定常データにはそのまま適用できず、差分を取るなどの前処理や、ベクトル誤差修正モデル（VECM）といった別のモデルを検討する必要があります。（VECMは共和分という関係にある非定常時系列を扱うモデルですが、G検定ではVARとの違いや使い分けを簡単に知っておけば十分でしょう。）
  • 構造的解釈の難しさ: データ駆動型である反面、推定された係数が経済理論などと整合的であるかどうかの解釈は慎重に行う必要があります。理論的な構造をモデルに組み込みたい場合は、構造VAR（SVAR）モデルという発展的な手法が用いられます。
  • インパルス応答分析の解釈: 誤差項間の相関（Omegaが対角行列でない場合）があると、どの変数の「純粋な」ショックかを特定するために追加的な仮定（直交化など）が必要となり、その仮定の置き方によって結果が変わる可能性があります。

 G検定合格へ！VARモデル学習のポイント整理

最後に、G検定対策としてVARモデルについて特に押さえておきたいポイントをまとめます。

  1. 基本概念:
    • ARモデル（単変量、自身の過去のみ）との違いを明確に理解する。
    • 複数の時系列変数を同時に扱うモデルであること。
    • 変数間の相互作用やフィードバックを捉えられること。
    • 全ての変数を内生変数として扱うこと。
  2. 教師あり学習の位置づけ:
    • 過去データ（入力）から未来（現在）の値（出力）を予測する回帰問題として、教師あり学習に分類されることを理解する。
  3. 推定プロセス（概要）:
    • 定常性の確認が必要であること。
    • ラグ次数を決定する必要があること（AIC, BICなどの情報量規準が使われる）。
    • 最小二乗法(OLS)で推定できること。
  4. 応用分析（特に重要）:
    • 予測 (Forecasting): 将来予測に使われる。
    • インパルス応答分析 (IRF): ショックの影響の伝播を見る。何をする分析か、グラフのイメージを掴む。
    • 予測誤差分散分解 (FEVD): 変動要因の寄与度を見る。何をする分析か、グラフのイメージを掴む。
    • グレンジャー因果性検定: 予測に役立つかの検定。「因果関係」とは異なる点に注意。
  5. メリット・デメリット:
    • メリット：相互作用のモデル化、データ駆動型。
    • デメリット：パラメータ数の多さ（過学習リスク）、非定常性への対応、構造的解釈の難しさ。

これらのポイントを中心に学習を進め、可能であれば簡単な例題などで理解を確認すると良いでしょう。

 まとめ：VARモデルを使いこなす第一歩

今回は、複数の時系列データ間の複雑な関係性を解き明かすための強力なツール、ベクトル自己回帰モデル（VARモデル）について解説しました。

  • VARモデルは、単一の時系列を扱うARモデルを拡張し、変数間の相互作用を考慮して予測や分析を行います。
  • G検定では、教師あり学習の一手法として位置づけられています。
  • 定常性の確認やラグ次数選択といったステップを経て推定され、予測、インパルス応答分析、予測誤差分散分解といった応用分析により、データから深い洞察を得ることが可能です。
  • 経済分析をはじめ、様々な分野で活用されていますが、パラメータ数の多さなどの注意点も理解しておくことが重要です。

VARモデルは、一見複雑に見えるかもしれませんが、その基本的な考え方と応用方法を理解すれば、データ分析の世界がぐっと広がります。

この記事が、あなたのVARモデルへの理解を深め、そしてG検定合格への一助となれば大変嬉しく思います。データが語るストーリーを読み解く面白さを、ぜひ感じてみてください！

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