ベイズの定理を使って確率をマスターしよう！中学生でもわかる簡単解説と練習問題

どうも皆さんこんにちは、ニコイチです。今日は、ちょっと難しそうな「ベイズの定理」について、中学生でもわかるように説明します。特に、テストでよく出る「不良品の確率」の問題を解説しますね。

問題の内容

鎌ケ谷市店では、A1社とA2社という2つの会社の商品を売っています。商品は以下のような割合で売られています：

• A1社の商品: 40%（10個中4個）
• A2社の商品: 60%（10個中6個）

これらの商品には、不良品も含まれていることがあります：

• A1社の商品の不良品の割合: 2%（100個中2個）
• A2社の商品の不良品の割合: 1%（100個中1個）

さて、問題です。ある日、お店で不良品が見つかりました。それがA1社のものである確率は何%でしょうか？

ベイズの定理とは？

上記の様な問題で確率を求めたいときに使うのがベイスの定理です。ベイズの定理を使うと、この確率を求めることができます。ベイズの定理を使うと、ある事象が起きたときに、その原因が何であるかを知ることができます。

計算の手順

まず、次のことを計算しましょう：

1. P(A1): A1社の商品が全体で占める割合（40% = 0.4）
2. P(A2): A2社の商品が全体で占める割合（60% = 0.6）
3. P(B|A1): A1社の商品が不良品である確率（2% = 0.02）
4. P(B|A2): A2社の商品が不良品である確率（1% = 0.01）

次に、全体の不良品が見つかる確率 P(B) を計算します：

P(B)=P(B∣A1)×P(A1)+P(B∣A2)×P(A2)

実際の数字を当てはめてみると、

P(B)=0.02×0.4+0.01×0.6

P(B)=0.02×0.4+0.01×0.6

P(B)=0.008+0.006

P(B)=0.014

これで、全体の不良品が見つかる確率がわかりましたね。

不良品がA1社のものである確率を求める

最後に、ベイズの定理を使って、不良品がA1社のものである確率 P(A1|B) を求めます：

P(A1∣B)=（P(B∣A1)×P(A1)）​　/　P(B)

上の公式に実際の数字を入れてみると、

P(A1∣B)=0.02×0.4　/　0.014

​P(A1∣B)=0.008　/　0.014

P(A1∣B)=0.5714

これをパーセンテージに直すと、 0.5714×100=57.14%

四捨五入して、57%です。

結論

不良品が見つかったとき、それがA1社のものである確率は57%です。

これでベイズの定理を使った確率の計算がわかりましたね！次に、練習問題を解いてみましょう。

練習問題 1　酸っぱくなっている不良品はどれくらい？

あるスーパーマーケットでは、B1社とB2社の牛乳を売っています。それぞれの割合は次の通りです：

• B1社の牛乳: 30%（10本中3本）
• B2社の牛乳: 70%（10本中7本）

これらの牛乳には、酸っぱくなっている不良品もあります：

• B1社の牛乳の不良品の割合: 5%（100本中5本）
• B2社の牛乳の不良品の割合: 3%（100本中3本）

さて、牛乳を買ったところ、酸っぱくなっていることがわかりました。それがB1社の牛乳である確率は何%でしょうか？

ヒント

答え

練習問題 2　テストで優秀な成績の確率は？

ある学校では、C1クラスとC2クラスの2つのクラスがあります。それぞれの割合は次の通りです：

• C1クラス: 50%（全体の生徒の中で半分）
• C2クラス: 50%（全体の生徒の中で半分）

テストの成績が優秀な生徒の割合は次の通りです：

• C1クラスの生徒: 20%（10人中2人）
• C2クラスの生徒: 10%（10人中1人）

さて、ある生徒がテストで優秀な成績を取りました。それがC1クラスの生徒である確率は何%でしょうか？

ヒント

解答